Racine n-ième (1) - Corrigé

Énoncé

Calculer les racines carrées de $-2i$ .

Solution
On a $|-2i|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2$
donc $\begin{array}{r}-2i=2(0-i)=2(\cos \frac{-\pi }{2}+i\sin \frac{-\pi }{2})=2{\text{e}}^{i\pi }.\end{array}$

Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ de forme exponentielle $z=r{\text{e}}^{i\theta }$ avec $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ .

On a :
$\begin{array}{rl}{z}^2=-2i⟺(r{\text{e}}^{i\theta }{)}^2=2{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{2}}⟺r^2{\text{e}}^{2i\theta }=2{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{2}}& ⟺\{\begin{array}{c}{r}^2=2\\ 2\theta \equiv -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[2\pi ]\end{array}\\ \\ & ⟺\{\begin{array}{c}r=\sqrt{2}\text{ car }r>0\\ \theta \equiv -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}[\pi ]\end{array}\end{array}$
donc les racines carrées de $-2i$ sont :

• $\sqrt{2}{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{4}}=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+i{\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}})=1-i$   ;
  
• $\sqrt{2}{\text{e}}^{i(-\frac{\pi }{4}+\pi )}=\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{3i\pi }{4}}=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}+i{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=-1+i$ .